Question

6．已知k为实数，f（x）=（x²-4）（x+k）
（1）求导数f′（x）；
（2）若x=-1是函数f（x）的极值点，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在区间（-∞，-2）和（2，+∞）上都是单调递增的，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的公式即可求导数f′（x）；
（2）若x=-1是函数f（x）的极值点，得到f′（-1）=0，解得k的值，即可求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-4）（x+k）=x³+kx²-4x-4k，
∴f′（x）=3x²+2kx-4．
（2）∵x=-1是函数f（x）的极值点，
∴由f′（-1）=0，得3-2k-4=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-4x+2，f′（x）=3x²-x-4．
由f′（x）=0，得x=-1或x=$\frac{4}{3}$．
又f（-2）=0，f（1）=$\frac{9}{2}$，f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{50}{27}$，f（2）=0，
∴f（x）在区间[-2，2]上的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为-$\frac{50}{27}$，
（3）∵f′（x）=3x²+2kx-4的图象是开口向上且过点（0，-4）的抛物线．
由已知，得$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=-4k+8≥0}\\{f′（2）=4k+8≥0}\end{array}\right.$，
∴-2≤k≤2，
∴k的取值范围为[-2，2]．

点评 本题主要考查函数的导数的计算，函数单调性，极值和最值与导数的关系，综合考查导数的应用．