一个盒子装有六张卡片.上面分别写着如下六个定义域为R的函数:f1(x)=x+1.f2(x)=x2.${f 3}(x)={log 2}$.f4(x)=sinx.f5(x)=cosx+|x|.f6(x)=x•sinx-2．(1)现从盒子中任取两张卡片.将卡片上的函数相加得一个新函数.求所得函数是奇函数的概率,(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片.且每� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f₁（x）=x+1，f₂（x）=x²，${f_3}（x）={log_2}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx+|x|，f₆（x）=x•sinx-2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

分析（1）根据函数的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可；
（2）ξ可取1，2，3，4，5，ξ=k的含义为前k-1次取出的不是偶函数，第k次取出的是偶函数，分别求概率，列出分布列，再求期望即可．

解答解：（1）f₁（x）=x+1为非奇非偶函数，f₂（x）=x²为偶函数，${f_3}（x）={log_2}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$为奇函数，
f₄（x）=sinx为奇函数，f₅（x）=cosx+|x|为偶函数，f₆（x）=x•sinx-2为偶函数．
记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
则分奇函数+奇函数，有1，
P（A）=$\frac{1}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
（2）ξ可取1，2，3，4，5，ξ=k的含义为前k-1次取出的不是偶函数，第k次取出的是偶函数
P（ξ=1）=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，P（ξ=2）=$\frac{4×2}{6×5}$=$\frac{4}{15}$，
P（ξ=3）=$\frac{4×3×2}{6×5×4}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=4）=$\frac{4×3×2×2}{6×5×4×3}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=5）=$\frac{4×3×2×1×2}{6×5×4×3×2}$=$\frac{1}{15}$，
故ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

Eξ=1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{4}{15}$+3×$\frac{1}{5}$+4×$\frac{2}{15}$+5×$\frac{1}{15}$=$\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$．

点评本题考查函数奇偶性的判断、排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列、期望等知识，及利用所学知识解决问题的能力．

练习册系列答案

12．

如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=6，BC=3，CD=4，则线段AC的长为6．

9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（　　）

16．观察下列数表，此表最后一个数是101×2⁹⁸

6．已知k为实数，f（x）=（x²-4）（x+k）
（1）求导数f′（x）；
（2）若x=-1是函数f（x）的极值点，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在区间（-∞，-2）和（2，+∞）上都是单调递增的，求实数k的取值范围．

13．直线y=kx+1与A（1，0），B（1，1）对应线段有公共点，则k的取值范围是[-1，0]．

10．下列有关命题的说法正确的是（　　）

	A．	命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
	B．	“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
	C．	命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
	D．	命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：““?x∈R均有x²+x+1＜0”

11．将函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx-$\frac{1}{4}$cosx的图象向右平移m（0＜m＜π）个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m=$\frac{5π}{6}$．

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