Question

18．平面α、β、γ两两互相垂直，点A∈α，点A到β、γ的距离都是3，P是α内的动点，P到β的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（　　）

• A． 3-$\sqrt{3}$
• B． 3+$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 根据P到β的距离是到点A距离的2倍，即P到两个面的交线的距离是到点A距离的2倍，得到P的轨迹是以A为焦点的椭圆，根据椭圆的几何性质，得到短轴的长度，得到结果．

解答 解：由题意知，P到β的距离是到点A距离的2倍，
即P到两个面的交线的距离是到点A距离的2倍，
∴P的轨迹是以A为焦点的椭圆，离心率是$\frac{1}{2}$．
当点P的轨迹上的点到γ的距离的最小时，点应该在短轴的端点处，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$
∴点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值是3-$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查点线面之间的距离的计算，考查点的轨迹问题，考查椭圆的几何性质，椭圆的离心率，a，b，c之间的关系，是一个综合题目．