Question

11．设a＞0，b＞0，若点P（1，1）到直线（a+1）x+（b+1）y-2=0的距离为1，则ab的取值范围是（　　）（　　）

• A． $[{\sqrt{2}-1，+∞}）$
• B． $[{3-2\sqrt{2}，+∞}）$
• C． $[{1+\sqrt{2}，+∞}）$
• D． $[{3+2\sqrt{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 根据点到直线的距离公式建立a，b的关系式，然后利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：∵点P（1，1）到直线（a+1）x+（b+1）y-2=0的距离为1，
∴d=$\frac{|a+1+b+1-2|}{\sqrt{（a+1）^{2}+（b+1）^{2}}}$=$\frac{|a+b|}{\sqrt{（a+1）^{2}+（b+1）^{2}}}=1$，
平方得（a+b）²=（a+1）²+（b+1）²，即2ab=2a+2b+2，则ab=a+b+1，
∵a＞0，b＞0，
∴ab=a+b+1≥2$\sqrt{ab}$+1，即ab-2$\sqrt{ab}$-1≥0，
设t=$\sqrt{ab}$，则t＞0，
则不等式等价为t²-2t-1≥0，解得t≥1+$\sqrt{2}$或t≤1-$\sqrt{2}$（舍），
即ab≥（1+$\sqrt{2}$）²=3+2$\sqrt{2}$，
即ab的取值范围是[3+2$\sqrt{2}$，+∞），
故选：D

点评 本题主要考查基本不等式的应用，根据点到直线的距离公式建立a，b的关系是解决本题的关键．