题目内容
【题目】已知函数f（x）=（x﹣3）ex+ax，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a∈[0，e）时，设函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为g（a），求函数g（a）的值域．
【答案】解：由题意得f'（x）=（x﹣2）ex+a，
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=（x﹣2）ex+1，所以f'（2）=1，
又因为f（2）=﹣e2+2，
则所求的切线方程为y﹣（﹣e2+2）=x﹣2，即x﹣y﹣e2=0．
（Ⅱ）设h（x）=f'（x），则h'（x）=（x﹣1）ex＞0对于x＞1成立，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，又因为a∈[0，e），
则h（1）=﹣e+a＜0，h（2）=a≥0，
所以h（x）在（1，+∞）上有唯一零点x=m（m∈（1，2]）．
则函数f（x）在（1，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，
因此当a∈[0，e）时，函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（m）．
因为（m﹣2）em+a=0，则﹣a=（m﹣2）em，当a∈[0，e）时，有m∈（1，2]．
所以函数f（x）有最小值f（m）=（m﹣3）em﹣（m﹣2）mem=（﹣m2+3m﹣3）em，（10分）
令φ（m）=（﹣m2+3m﹣3）em（m∈（1，2]），
则φ'（m）=（﹣m2+m）em＜0在（1，2]上恒成立，所以φ（m）在（1，2]上单调递减，
因为φ（2）=﹣e2，φ（1）=﹣e，所以φ（m）的值域为[﹣e2，﹣e），
所以g（a）的值域为[﹣e2，﹣e）
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；（Ⅱ）设h（x）=f'（x），得到h（x）在（1，+∞）上有唯一零点x=m（m∈（1，2]），根据函数的单调性求出g（a），从而求出g（a）的值域即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的最大(小)值与导数，掌握求函数
在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在
内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．
【题目】漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒赚1.7元；如果当天未能按量完成任务，则按实际完成的雕刻量领取当天工资． （I）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：
雕刻量n | 210 | 230 | 250 | 270 | 300 |
频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．
（ⅰ）求该雕刻师这10天的平均收入；
（ⅱ）求该雕刻师当天收入不低于300元的概率．
