Question

19．已知角A是三角形ABC的一个内角，且sinA+cosB=$\frac{1}{5}$，则tan2A的值是$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 由题意可得A的范围，把已知的等式两边平方后进一步得到A为钝角，求出sinA-cosA，和已知的等式联立求得sinA，cosA的值，则tanA可求，再利用倍角公式求得tan2A的值．

解答 解：由题意可知，A∈（0，π），
由sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，两边平方得：$si{n}^{2}A+co{s}^{2}A+2sinAcosA=\frac{1}{25}$，
即$2sinAcosA=-\frac{24}{25}＜0$，∴A∈（$\frac{π}{2}，π$），
则sinA＞0，cosA＜0，
∴$sinA-cosA=\sqrt{（sinA-cosA）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinAcosA}=\sqrt{1+\frac{24}{25}}=\frac{7}{5}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{sinA+cosA=\frac{1}{5}}\\{sinA-cosA=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，解得：sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$．
∴$tanA=\frac{sinA}{cosA}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$．
则tan2A=$\frac{2tanA}{1-ta{n}^{2}A}=\frac{2×（-\frac{4}{3}）}{1-（-\frac{4}{3}）^{2}}=\frac{24}{7}$．
故答案为：$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查三角函数的求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，关键是对角的范围的限制，属中档题．