Question

【题目】已知函数f（x）=x2+bx+1满足f（1+x）=f（1﹣x）， ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断g（x）在[1，2]上的单调性并用定义证明你的结论；
（3）求g（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x2+bx+1满足f（1+x）=f（1﹣x），

可知函数的对称轴为：x=1，所以 ，b=﹣2，

函数f（x）的解析式：f（x）=x2﹣2x+1

（2）解： =x+ ﹣2，g（x）在[1，2]上的单调性是增函数，

证明：设1≤x1＜x2≤2，x1﹣x2＜0， ＞0，

g（x1）﹣g（x2）=x1﹣x2+ =（x1﹣x2）（ ）＜0，

g（x1）＜g（x2），

所以函数g（x）在[1，2]上是增函数

（3）解：由（2）可知，函数是增函数，函数的最小值为：g（1）=0，

函数的最大值为：g（2）=

【解析】（1）利用二次函数的对称性求出b，然后求解函数的解析式．（2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可．（3）利用函数的单调性，直接求解函数的最值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．