Question

【题目】已知函数， （其中为常数， 为自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

（1）求的单调区间；

（2）当时，若函数有两个不同零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为．（2）

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率，解出，再求导函数零点，根据导函数符号确定函数单调区间，（2）先化简，再求导数，利用参变分离转化为研究两曲线交点个数问题：函数的图象与函数的图像有两个不同交点，再利用导数研究函数图像，结合图像确定有两个交点需满足的条件

试题解析：解：（Ⅰ）因为

所以的定义域为，且，

由于曲线在处的切线与轴平行，

所以，因此;

所以

令， ，

当时， ，

当时， ，

又因为，

所以当时， ，

当时， ，

因此的单调递减区间为，单调递增区间为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又因为， ，

所以，

由得，令，

所以函数有两个不同零点等价于函数的图象与函数的图像有两个不同交点，

又因为，

当时，由得，

当时， ，

当时， img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/17/cc31a5e0/SYS201712291718517226540281_DA/SYS201712291718517226540281_DA.052.png" width="64" height="27" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

所以在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

因此，

又因为， ，

所以，则，

结合函数图像可得，当时，函数的图像与函数的图像有两个不同交点，

即当时， 函数有两个不同零点，

综上可得，所求实数的取值范围为．