Question

【题目】已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2(a∈R)．

(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；

(2)若不等式2f(x)≤＋2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）求出,由函数g(x)的单调递减区间为可得是方程的两根，根据韦达定理可求得的值，从而可得结果；（2）原不等式恒成立，等价于对恒成立，令，利用导数研究函数 的单调性，利用单调性求得h(x)最大值为－2,从而可得实数的取值范围.

试题解析：(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1由题意3x2＋2ax－1＜0的解集是，

即3x2＋2ax－1＝0的两根是－和1.

将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0得a＝－1.

所以g(x)＝x3－x2－x＋2.

(2)2f(x)≤g′(x)＋2对x∈(0，＋∞)恒成立，

即：2xln x≤3x2＋2ax＋1对x∈(0，＋∞)恒成立，

可得a≥ln x－x－对x∈(0，＋∞)恒成立，

设h(x)＝ln x－－，则h′(x)＝－＋＝－，

令h′(x)＝0，得x＝－ (舍)或x＝1，

当0＜x＜1时，h′(x)＞0；当x＞1时，h′(x)＜0，

所以当x＝1时，h(x)取得最大值，最大值为－2，

所以a≥－2.

所以实数a的取值范围是[－2，＋∞)．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题(2)是利用方法 ① 求得 的取值范围.