Question

7．用数学归纳法证明：1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{n^2}$＜2-$\frac{1}{n}$（n≥2）

Answer 1

分析 原题要求利用数学归纳法证明数列不等式，首先验证n=2时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，然后利用归纳假设证明n=k+1时不等式成立，最后下结论．

解答 证明：①当n=2时，原不等式左边=$1+\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{5}{4}$，右边=$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}$，左边＜右边，不等式成立；
②假设当n=k时，原不等式成立，即1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$成立，
则当n=k+1时，1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=$2-\frac{{k}^{2}+2k+1-k}{k（k+1）^{2}}$
=$2-\frac{{k}^{2}+k+1}{k（k+1）^{2}}$=$2-\frac{k（k+1）}{k（k+1）^{2}}-\frac{1}{k（k+1）^{2}}$$＜2-\frac{k（k+1）}{k（k+1）^{2}}=2-\frac{1}{k+1}$．
即n=k+1时原不等式也成立．
综上，对于任意n（n∈N^*且n≥2）原不等式成立．

点评 本题考查利用数学归纳法证明数列不等式，利用归纳法证明与自然数有关的命题，关键是用上归纳假设，是中档题．