Question

8．求抛物线y²=3x截直线$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3t}\end{array}\right.$（t为参数）所得的弦长$\frac{\sqrt{37}}{12}$．

Answer 1

分析 先将直线的参数方程化为一般方程，将直线与抛物线方程联立，利用两点间距离公式求解弦长．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=3t\end{array}\right.$得
直线方程为：y=6x，
假设两个交点（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=3x\\ y=6x\end{array}\right.$得
36x²-3x=0 所以x₁=0，x₂=$\frac{1}{12}$，y₁=0，y₂=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线y²=3x截直线$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3t}\end{array}\right.$（t为参数）所得的弦长：$\sqrt{（{\frac{1}{12}-0）}^{2}+（\frac{1}{2}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{37}}{12}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{37}}{12}$．

点评 解决直线与圆锥曲线相交得到的弦长问题，一般将它们的方程联立，利用弦长公式来解决．