题目内容
4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线分别与抛物线y2=4x的准线交于A，B，且△AOB的面积为$\sqrt{2}$，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | 4 | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 3 | D． | 1 |
分析 由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y=$\frac{b}{a}$和y=-$\frac{b}{a}$，由△AOB的面积为$\sqrt{2}$，求出bb=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，由此能求出双曲线的离心率．
解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x，
又∵抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，
∴A，B两点的纵坐标分别是y=$\frac{b}{a}$和y=-$\frac{b}{a}$，
∵△AOB的面积为$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{2}×1×\frac{2b}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：B．
点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线的性质，考查三角形面积的计算，是中档题．
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