Question

1．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C左、右两支上各有-点A、B，点B在直线x=$\frac{1}{2}$上的射影是点B′，若直线AB过右焦点，求证直线AB′必过定点．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，可得a=1，b=$\sqrt{3}$，即可求出双曲线C的方程；
（2）双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为（2，0），设AB：y=k（x-2），代入双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由此推导出直线AB′的方程，从而能求出直线AB'过x轴定点．

解答 解：（1）∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线C的方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为（2，0），
设AB：y=k（x-2），代入双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得3x²-k²（x²-4x+4）=3，
即（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
x_1，2=$\frac{-2{k}^{2}±3\sqrt{{k}^{2}+1}}{3-{k}^{2}}$，
设A（x₁，k（x₁-2）），B（x₂，k（x₂-2）），则B′（$\frac{1}{2}$，k（x₂-2）），
AB′的斜率=$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-\frac{1}{2}}$，k′=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-\frac{1}{2}}$=$\frac{4k}{\sqrt{{k}^{2}+1}+2}$，
∴直线AB′的方程为：y-3k•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}-2}{3-{k}^{2}}$=（x-$\frac{1}{2}$）•$\frac{4k}{\sqrt{{k}^{2}+1}+2}$．
令y=0，解得x=$\frac{5}{4}$．
∴直线AB'过x轴定点（$\frac{5}{4}$，0）．

点评 本题考查双曲线的方程，考查直线过x轴上的定点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与双曲线的位置关系的灵活运用．