题目内容

16.函数f(x)(x∈R)关于(-$\frac{3}{4}$,0)对称,且f(x)=-f(x+$\frac{3}{2}$)则下列结论:(1)f(x)的最小正周期是3,(2)f(x)是偶函数,(3)f(x)关于x=$\frac{3}{2}$对称,(4)f(x)关于($\frac{9}{4}$,0)对称,正确的有(1)(2)(3)(4).

分析 由“f(x)=-f(x+$\frac{3}{2}$)可得周期为3,由“函数f(x)(x∈R)关于(-$\frac{3}{4}$,0)对称”可得y=f(x)的对称性,然后两者结合以及利用代数变换或图象变换对四个选项做出判断.

解答 解:∵对任意的x∈R,函数f(x)满足条件f(x)=-f(x+$\frac{3}{2}$),∴f(x+3)=f(x+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$)=-f(x+$\frac{3}{2}$)=f(x),∴f(x)的最小正周期是3,故(1)正确;
∵函数f(x)(x∈R)关于(-$\frac{3}{4}$,0)对称,∴f(-x-$\frac{3}{4}$)=-f(x-$\frac{3}{4}$),∴f(x)=-f(x-$\frac{3}{2}$)=-f(x+$\frac{3}{2}$)=f(x),
∴y=f(x)是偶函数,故(2)正确;
∵f(x)=-f(x+$\frac{3}{2}$),∴f(x+$\frac{3}{2}$)=-f(x),∴f(-x+$\frac{3}{2}$)=-f(-x)=-f(x),∴f(x+$\frac{3}{2}$)=f(-x+$\frac{3}{2}$),∴f(x)关于x=$\frac{3}{2}$对称,故(3)正确;
∵函数f(x)(x∈R)关于(-$\frac{3}{4}$,0)对称,f(x)的最小正周期是3,∴f(x)关于($\frac{9}{4}$,0)对称,正确.
故答案为:(1)(2)(3)(4).

点评 本题综合考查了抽象函数的奇偶性、周期性,因为没有具体的解析式,所以准确理解每个关系式的意义是解题关键,能结合图象理解的尽量结合图象,使问题直观化,具体化.

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