题目内容
【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数)
(1)设过点的直线
与曲线
相切于点
,求
的值;
(2)若函数的图象与函数
的图象在
内有交点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)点的切线
的方程为
,将
代入切线方程可得结果;(2)两已知函数有交点等价于函数
有零点,利用导数研究其单调性,利用零点存在性定理可得结果.
试题解析:(1)因为函数,所以
,
故直线的斜率为
,
点的切线
的方程为
,
因直线过,
所以,
即
解之得,
(2)令,所以
,
设,则
,
因函数的图象与函数
的图象在
内有交点,
设为
在
内的一个零点,
由,
所以在
和
上不可能单增,也不可能单减,
所以在
和
上均存在零点,
即在
上至少有两个零点,
当时,
,
在
上递增,
不可能有两个及以上零点;
当时,
,
在
上递减,
不可能有两个及以上零点;
当时,令
,得
,
∴在
上递减,在
上递增,
所以
设,则
,
令,得
,
当时,
,
递增,
当时,
,
递减,
所以,
∴恒成立,
若有两个零点,则有
,
,
,
由,
,得
,
当,设
的两个零点为
,则
在
递增,在
递减,在
递增,
∴,
,
所以在
内有零点,
即函数的图象与函数
的图象在
内有交点,
综上,实数的取值范围是
.
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练习册系列答案
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年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
储蓄存款y(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理, 得到下表2:
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(Ⅰ)求z关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?
(附:对于线性回归方程,其中
)