题目内容
【题目】设函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
的最值;
(Ⅱ)若函数有极值点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)函数有一个极值时;函数有两个极值点时
.
【解析】【试题分析】(1)运用导数与 函数的单调性之间的关系进行求解;(2)依据导数的零点就是函数的极值点这一事实分析求解:
(Ⅰ)当时,
,
,
当时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减,
所以函数在
处取得极大值,也是最大值,且
.
(Ⅱ)令,
,
当时,
,函数
在
上递增,无极值点;
当时,设
,
.
①若,
,
,函数
在
上递增,无极值点;
②若时,
,设方程
的两个根为
,
(不妨设
),
因为,
,所以
,
,
所以当,
,函数
递增;
当,
,函数
递减;
当,
,函数
递增;
因此函数有两个极值点.
当时,
,由
,可得
,
所以当,
,函数
递增;
当时,
,函数
递减;
因此函数有一个极值点.
综上,函数有一个极值时;函数有两个极值点时
.
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