题目内容
【题目】已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4. (Ⅰ) 若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2 ,求直线l的方程;
(Ⅱ) 若直线l过点B(1,0)与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2, ∵直线l被圆E截得的弦长为2 ,∴圆心C到直线l的距离d=1
①当直线l的斜率不存在时,l:x=2,显然满足d=1;
②当直线l的斜率存在时,设l:y﹣3=k(x﹣2),即kx﹣y+3﹣2k=0,
由圆心C到直线l的距离d=1得: ,解得k=0,故l:y=3;
综上所述,直线l的方程为x=2或y=3
(Ⅱ)法一:∵直线与圆相交,∴l的斜率一定存在且不为0,设直线l方程:y=k(x﹣1),
即kx﹣y﹣k=0,则圆心C到直线l的距离为d= ,
又∵△CPQ的面积S= =d
=
=
∴当 时,S取最大值2.由d=
=
,得k=1或k=7,
∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0或7x﹣y﹣7=0.
法二:设圆心C到直线l的距离为d,
则 (取等号时
)
以下同法一.
法三:
取“=”时∠PCQ=90°,△CPQ为等腰直角三角形,则圆心C到直线l的距离 ,
以下同法一.
【解析】(Ⅰ)求出圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2,推出圆心C到直线l的距离d=1,(1)当直线l的斜率不存在时,l:x=2,判断是否满足题意(2)当直线l的斜率存在时,设l:y﹣3=k(x﹣2),利用点到直线的距离公式求解即可.(Ⅱ)法一:设直线l方程:y=k(x﹣1),利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式,通过二次函数的最值求解即可. 法二:设圆心C到直线l的距离为d,表示三角形的面积,利用基本不等式求解即可.法三:S△CPQ= RRsin∠PCQ,利用三角函数的最值求解,圆心C到直线l的距离
,然后转化求解即可.
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