题目内容

【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB. (Ⅰ)证明:A=2B
(Ⅱ)若△ABC的面积S= ,求角A的大小.

【答案】(Ⅰ)证明:∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB,
∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)
∵A,B是三角形中的角,
∴B=A﹣B,
∴A=2B;
(Ⅱ)解:∵△ABC的面积S=
bcsinA=
∴2bcsinA=a2
∴2sinBsinC=sinA=sin2B,
∴sinC=cosB,
∴B+C=90°,或C=B+90°,
∴A=90°或A=45°
【解析】(Ⅰ)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可证明A=2B(Ⅱ)若△ABC的面积S= ,则 bcsinA= ,结合正弦定理、二倍角公式,即可求角A的大小.

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