题目内容
【题目】已知分别是椭圆
的左、右焦点,
是椭圆
上一点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,且
,试求点
到直线
的距离.
【答案】(1) ;(2) 原点
到直线
的距离
.
【解析】试题分析:(1)根据等式关系可得
,求出c值,然后结合椭圆定义和已知等式关系联立方程即可得a,进而求出标准方程;(2)先验证斜率不存在时情况,然后再讨论斜率存在时,由
得:
,故设
,得
,连立方程得出韦达定理代入等式得k,n的关系,在计算距离即可得出结论.
解析:(Ⅰ)由得:
,化简得:
,
解得: 或
因为,所以
,
因为
所以,则
,又
,
所以椭圆的标准方程为: ;
(Ⅱ)由题意可知,直线不过原点,设
,
①直线轴,直线
的方程
且
,
则
由得:
,
即,解得:
,
故直线的方程为
,∴原点
到直线
的距离
,
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
则,消去
整理得:
,
,
,
则=
由得
,
故+
,
整理得: ,
即 ①
原点到直线
的距离
,
②
将①代入②,则,∴
,
综上可知:原点到直线
的距离
.
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