题目内容
【题目】已知四棱锥,底面
为菱形,
,
为
上的点,过
的平面分别交
,
于点
,
,且
平面
.
(1)证明:;
(2)当为
的中点,
,
与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】【试题分析】(1)连结交
于点
,连结
.根据菱形有
,根据等腰三角形有
,所以以
平面
,
.利用线面平行的性质定理有
,故
,所以
.(2)以
为坐标原点建立空间直角坐标系,通过计算平面
和平面
的法向量来计算二面角的余弦值.
【试题解析】
(1)证明:连结交
于点
,连结
.因为
为菱形,所以
,且
为
、
的中点,因为
,所以
,
因为且
平面
,所以
平面
,
因为平面
,所以
.
因为平面
,
平面
,且平面
平面
,
所以,所以
.
(2)由(1)知且
,因为
,且
为
的中点,
所以,所以
平面
,所以
与平面
所成的角为
,
所以,所以,因为
,所以
.
分别以,
,
为
轴,建立如图所示空间直角坐标系,设
,则
,
所以.
记平面的法向量为
,则
,
令,则
,所以
,
记平面的法向量为
,则
,
令,则
,所以
,
记二面角的大小为
,则
.
所以二面角的余弦值为
.
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