题目内容
【题目】已知椭圆: 的一个焦点与抛物线的焦点重合,且过点.过点的直线交椭圆于, 两点, 为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线的方程.
【答案】(1);(2)直线l的方程为x=1.
【解析】试题分析:(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解;(2) 联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解.
试题解析:(1)因为抛物线y2=4x的焦点为(,0),所以椭圆C的半焦距c=,即a2-b2=3. ①
把点Q代入+=1,得+=1. ②
由①②解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=ty+1,代入+y2=1,
得(t2+4)y2+2ty-3=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-.
则|y1-y2|=====.令=m(m≥).易知函数y=m+在[,+∞)上单调递增,
则+≥+=,当且仅当m=,即t=0时,取等号.
所以|y1-y2|≤.所以△AMN的面积S=|AP||y1-y2|≤×3×=,
所以Smax=,此时直线l的方程为x=1.
【题目】某市县乡教师流失现象非常严重,为了县乡孩子们能接受良好教育,某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要1万元,若三年后教师严重短缺时再招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要3万元,已知现在该市县乡中学无多余教师,为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市50所县乡中学在过去三年内的教师流失数,得到如表的频率分布表:
流失教师数 | 6 | 7 | 8 | 9 |
频数 | 10 | 15 | 15 | 10 |
以这50所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师数发生的概率,记表示两所县乡中学在过去三年共流失的教师数, 表示今年为两所县乡中学招聘的教师数.为保障县乡孩子教育不受影响,若未来三年内教师有短缺,则第四年马上招聘.
(1)求的分布列;
(2)若要求,确定的最小值;
(3)以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?
【题目】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的人中的性别以及意见进行了分类,得到的数据如下表所示:
男 | 女 | 总计 | |
认为共享产品对生活有益 | |||
认为共享产品对生活无益 | |||
总计 |
(1)根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为对共享产品的态度与性别有关系?
(2)现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人,再从人中随机抽取人赠送超市购物券作为答谢,求恰有人是女性的概率.
参与公式:
临界值表: