Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面平面，，为的中点.

（1）若，求证：平面；:

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得平面A1ACC1，进而证得BEA1C，又，所以平面；

（2）先证得A1E平面ABC，进而以E点为原点，分别以射线EB，EC，EA1为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求得面和面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为BA=BC，E为AC的中点，所以BEAC，

又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，平面ABC，

所以BE平面A1ACC1，

又A1C平面A1ACC1，所以BEA1C，又BC1A1C，BEBC1=B，

所以A1C平面C1EB

（Ⅱ）连接A1E，因为A1A=A1C，又E为AC的中点，

所以A1EAC,

又平面A1ACC1平面ABC，

平面A1ACC1平面ABC=AC，A1E平面A1ACC1，

所以A1E平面ABC，

以E点为原点，分别以射线EB，EC，EA1为

轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，

所以，,，

设平面A1BC1的一个法向量

得 ，取得，

设平面C1EB的一个法向量为,

得 ，取得， ，

故所求的二面角A1—BC1—E的余弦值为