Question

【题目】已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点

．

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线 交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】试题分析：（I）联立直线与椭圆方程，消去，可得的方程，运用判别式为0，再将的坐标代入椭圆方程，解方程可得，进而得到椭圆方程；
（II）设联立直线和椭圆方程，消去，可得的方程，运用判别式大于0，韦达定理，再由在直线上，代入直线方程，由垂直的条件，运用向量的数量积为0，化简整理，解方程可得的值．

试题解析：

（I）联立直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0），

可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，

由题意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即为9mn=m+n，

又P在椭圆上，可得4m+n=1，

解方程可得m=，n=，

即有椭圆方程为+=1；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立直线y=b﹣x和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，

判别式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，

x1+x2=，x1x2=，

y1+y2=2b﹣（x1+x2）=，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2=，

由PA⊥PB，即为？=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）

=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1

=﹣2？+﹣+5=0，

解得b=3或，代入判别式，b=3不成立．

则b=．