Question

【题目】已知函数g（x）=x+ ﹣2．
（1）证明：函数g（x）在[ ，+∞）上是增函数；
（2）若不等式g（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设 ≤x1＜x2，

∵g（x1）﹣g（x2）= ，

∵ ≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2＜x1x2，即x1x2﹣2＞0．

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

所以函数g（x）在[ ，+∞）上是增函数

（2）解：g（2x）﹣k2x≥0，可化为2x+ ﹣2≥k2x，

化为1+2 ﹣2 ≥k，

令t= ，则k≤2t2﹣2t+1，

因x∈[﹣1，1]，故t∈[ ，2]，

记h（t）=2t2﹣2t+1，因为t∈[ ，2]，故h（t）max=5，

所以k的取值范围是（﹣∞，5]

【解析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）问题化为1+2 ﹣2 ≥k，令t= ，则k≤2t2﹣2t+1，从而求出k的范围即可．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较即可以解答此题．