题目内容
(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
(理)对于数列
,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为正整数
,公比为正整数
的无穷等比数列
的子数列问题. 为此,他任取了其中三项
.
(1) 若
成等比数列,求
之间满足的等量关系;
(2) 他猜想:“在上述数列
中存在一个子数列
是等差数列”,为此,他研究了
与
的大小关系,请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确;
(3) 他又想:在首项为正整数
,公差为正整数
的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列?请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.
(理)对于数列





(1) 若


(2) 他猜想:“在上述数列




(3) 他又想:在首项为正整数


(1)
;(2)不成立;(3) 对于首项为正整数
,公差为正整数
的无穷等差数列
,总可以找到一个无穷子数列
,使得
是一个等比数列.






试题分析:(1)由已知可得:

则




(2)


故

由于



又




所以,


(3)命题:对于首项为正整数





此命题是真命题,下面我们给出证明.
证法一: 只要证明对任意正整数n,







证法二:首项为






依次取数列








点评:此题考查了等差数列的性质即通项公式,同时本题属于新定义及结论探索性问题,这类试题的一般解法是:充分抓住已知条件,找准问题的突破点,由浅入深,多角度、多侧面探寻,联系符合题设的有关知识,合理组合发现新结论,围绕所探究的结论环环相扣,步步逼近发现规律,得出结论.熟练掌握公式及性质是解本题的关键.

练习册系列答案
相关题目