Question

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（理）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数,公比为正整数的无穷等比数列的子数列问题. 为此，他任取了其中三项.
(1) 若成等比数列,求之间满足的等量关系；
(2) 他猜想：“在上述数列中存在一个子数列是等差数列”，为此，他研究了与的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
(3) 他又想：在首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.

Answer 1

(1) ；(2)不成立；(3) 对于首项为正整数，公差为正整数的无穷等差数列，总可以找到一个无穷子数列,使得是一个等比数列.

试题分析：(1)由已知可得：,      1分
则,即有,        3分
，化简可得. .      4分
(2) ,又,
故 ,   6分
由于是正整数，且，则,
又是满足的正整数，则,
,
所以，> ,从而上述猜想不成立.         10分
(3)命题:对于首项为正整数，公差为正整数的无穷等差数列，总可以找到一个无穷子数列,使得是一个等比数列.   13分
此命题是真命题,下面我们给出证明.
证法一: 只要证明对任意正整数n,都在数列{a_n}中.因为b_n=a(1+d)ⁿ=a(1+d+d²+…+dⁿ)=a(Md+1)，这里M=+d+…+d^n-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd是{a_n}中的第aM+1项，证毕.      18分
证法二：首项为,公差为( )的等差数列为,考虑数列中的项:
依次取数列中项,,
,则由,可知,并由数学归纳法可知,数列为的无穷等比子数列.    18分
点评：此题考查了等差数列的性质即通项公式，同时本题属于新定义及结论探索性问题，这类试题的一般解法是：充分抓住已知条件，找准问题的突破点，由浅入深，多角度、多侧面探寻，联系符合题设的有关知识，合理组合发现新结论，围绕所探究的结论环环相扣，步步逼近发现规律，得出结论．熟练掌握公式及性质是解本题的关键．