题目内容
【题目】如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示）， 
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．
【答案】
（1）解：设BD=x，则CD=3﹣x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴VA﹣BCD= 
×AD×S△BCD= ×（3﹣x）× 
×x（3﹣x）= 
（x3﹣6x2+9x）
设f（x）= （x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），
∵f′（x）= （x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大
（2）解：以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，
由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（ ，1，0），且 
=（﹣1，1，1）
设N（0，λ，0），则 
=（﹣ ，λ﹣1，0）
∵EN⊥BM，∴ =0
即（﹣1，1，1）（﹣ ，λ﹣1，0）= +λ﹣1=0，∴λ= ，∴N（0， ，0）
∴当DN= 时，EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为 
=（x，y，z），由 
及 
=（﹣1， ，0）
得 
，取 =（1，2，﹣1）
设EN与平面BMN所成角为θ，则 =（﹣ ，﹣ ，0）
sinθ=|cos＜ ， ＞|=| 
|= 
= 
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°
【解析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角
【考点精析】本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角的相关知识点，需要掌握设直线
的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，与的夹角为
， 则为的余角或的补角的余角.即有：
才能正确解答此题．
