题目内容

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥面ABC,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且

(Ⅰ)求证:EF∥平面BDC1
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
(I)详见解析;(II)二面角E-BC1-D的余弦值为

试题分析:(I)由于EF与BD在同一个平面内,显然考虑在ABB1A1这个平面内证明这两条直线平行,这完全就是平面几何的问题了.取AB的中点M,,所以F为AM的中点,又因为E为的中点,所以.又分别为的中点,,且,所以四边形为平行四边形,,由此可得平面.
(II)取AB的中点M,则MB、MC、MD两两垂直,所以可以以M为原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角E-BC1-D的余弦值.
试题解析:(I)证明:取AB的中点M,
,所以F为AM的中点,又因为E为的中点,所以.
在三棱柱中,分别为的中点,
,且
所以四边形为平行四边形,
,又平面平面
所以平面.

(II)以AB的中点M为原点,分别以所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,



设面BC1D的一个法向量为,面BC1E的一个法向量为
则由
又由

故二面角E-BC1-D的余弦值为.       12分
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