题目内容
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥面ABC,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求证:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
(Ⅰ)求证:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
(I)详见解析;(II)二面角E-BC1-D的余弦值为.
试题分析:(I)由于EF与BD在同一个平面内,显然考虑在ABB1A1这个平面内证明这两条直线平行,这完全就是平面几何的问题了.取AB的中点M,,所以F为AM的中点,又因为E为的中点,所以.又分别为的中点,,且,所以四边形为平行四边形,,,由此可得平面.
(II)取AB的中点M,则MB、MC、MD两两垂直,所以可以以M为原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角E-BC1-D的余弦值.
试题解析:(I)证明:取AB的中点M,
,所以F为AM的中点,又因为E为的中点,所以.
在三棱柱中,分别为的中点,
,且,
所以四边形为平行四边形,,
,又平面,平面,
所以平面.
(II)以AB的中点M为原点,分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,
∴,,.
设面BC1D的一个法向量为,面BC1E的一个法向量为,
则由得取,
又由得取,
则,
故二面角E-BC1-D的余弦值为. 12分
练习册系列答案
相关题目