题目内容

已知平面内一动点P到点F（2，0）的距离比点P到y轴的距离大2，
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为2
2
的直线交轨迹C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，P（x3，y3）（x3≥0）为轨迹C上一点，若
OP
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．
（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
∵平面内一动点P到点F（2，0）的距离比点P到y轴的距离大2，
∴
(x-2)2+y2
=|x|+2，
当x≥0时，整理，得y2=8x，
当x＜0时，整理，得y2=0，
∴动点P的轨迹方程为y2=8x，x≥0，或y=0，x＜0．
（Ⅱ）∵过点F且斜率为2
2
的直线：y=2
2
（x-2），
该直线轨迹C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，
∴
y=2
2
(x-2)
y2=8x
，整理，得x2-5x+4=0，
解得x1=1，x2=4，∴A（1，-2
2
），B（4，4
2
），
∵P（x3，y3）（x3≥0）为轨迹C上一点，
∴P（x3，2
2x3
），
∵
OP
=
OA
+λ
OB
，
∴（x3，2
2x3
）=（1，-2
2
）+（4λ，4
2
λ）=（1+4λ，-2
2
+4
2
λ），
∴
x3=1+4λ
2
2x3
=-2
2
+4
2
λ
，
整理，得
1+4λ
=-1+2λ，
解得λ=0（舍），或λ=2，
∴λ=2．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C经过点A（0，2），B（
1
2
，
3
）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设P（x0，y0）为椭圆C上的动点，求x20+2y0的最大值．
过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使|AB|≤2p．
已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（4，0）作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P，Q，求证OP⊥OQ（O为坐标原点）．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
2
2
，A1，A2分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；
（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．
若直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，则点P（m，n）与椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1的位置关系为（　　）
A．点P在椭圆C内B．点P在椭圆C上
C．点P在椭圆C外D．以上三种均有可能
设F1、F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若椭圆上的点A（1，
3
2
）到点F1、F2的距离之和等于4，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆C上的动点，求线段F1P的中点M的轨迹方程．
如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
（a＞b＞0）的离心率e=
6
3
，短轴长为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
已知椭圆M、抛物线N的焦点均在x轴上的，且M的中心和M的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x3-24
2
y-2
3
0-4
2
2
（Ⅰ）求M，N的标准方程；
（Ⅱ）已知定点A（1，
1
2
），过原点O作直线l交椭圆M于B，C两点，求△ABC面积的最大值和此时直线l的方程．

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