题目内容

过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使|AB|≤2p．
由题意，直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y2=2px，得x2-2（a+p）x+a2=0．
设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则
4(a+p)2-4a2＞0
x1+x2=2(a+p)
x1x2=a2.

又y1=x1-a，y2=x2-a，
∴|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
8p(p+2a)
．
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，∴0＜
8p(p+2a)
≤2p．
解得-
p
2
＜a≤-
p
4
．
故a∈(-
p
2
，-
p
4
]时，有|AB|≤2p．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），点P（-1，
2
2
）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线E：y2=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求P的值．
（3）在（2）的条件下，过点F2作任意直线l与抛物线E相交于点A、B两点，则直线AF1与直线BF1的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则
cos(α-β)
cos(α+β)
=______．
如图，已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点
（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=1上，求直线l的方程；
（Ⅱ）若线段|AB|=20，求直线l的方程．
求经过点P（-1，-6）与抛物线C：x2=4y只有一个公共点的直线l方程．
如图所示，设点F坐标为（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴运动上，其中
PM
•
PF
=0，若动点N满足条件
PN
=
MP

（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l和l′分别与曲线E交于A、B两点和C、D两点，若l⊥l′，试求四边形ACBD的面积的最小值．
如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆Cl的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆Cl的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）（i）设PM的斜率为t，直线l斜率为K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面积最大时直线l的方程．
已知平面内一动点P到点F（2，0）的距离比点P到y轴的距离大2，
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为2
2
的直线交轨迹C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，P（x3，y3）（x3≥0）为轨迹C上一点，若
OP
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．
线段PQ是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1过M（1，0）的一动弦，且直线PQ与直线x=4交于点S，则
|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=______．

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