Question

如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，
E是CD的中点，PA底面ABCD，。
（I）证明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小。

Answer 1

（I）同解析（II）二面角的大小为

解：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以
又所以是二面角的平面角．
在中, ．
故二面角的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.
从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知设是平面PBE的一个法向量,
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是,．
故二面角的大小为