题目内容
(本小题满分12分)函数,.
(Ⅰ)求的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论与的大小关系;
(Ⅲ)是否存在,使得对任意成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)在是函数的减区间;是函数的增区间.的最小值是.(II)当时,;当时,.
(Ⅲ)不存在.
解析试题分析:(1)∵,∴(为常数),又∵,所以,即,
∴;,∴,令,即,解得,
因为>,所以<0,<0,
当时,,是减函数,故区间在是函数的减区间;
当时,,是增函数,故区间在是函数的增区间;
所以是的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
所以的最小值是.…………4分
(2),设,则,
当时,,即,当时,,,
因此函数在内单调递减,当时,=0,∴;
当时,=0,∴.…………8分
(3)满足条件的不存在.证明如下:
证法一 假设存在,使对任意成立,
即对任意有 ①
但对上述的,取时,有,这与①左边的不等式矛盾,
因此不存在,使对任意成立. …………12分
证法二 假设存在,使对任意成立,
由(1)知,的最小值是,
又,而时,的值域为,
∴当时,的值域为
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