题目内容
(12分)设为实数,函数,.
(1)求的单调区间与极值;
(2)求证:当且时,.
(1)单调递减区间是,单调递增区间是,极小值为(2)设,于是,取最小值为
在R内单调递增,有,而,有故
解析试题分析:(Ⅰ)解:由知。 …2分
令,得。于是,当变化时,和的变化情况如下表:
……………………………4分0 + 单调递减 单调递增
故的单调递减区间是,单调递增区间是。在处取得极小值。极小值为 ……………6分
(Ⅱ)证明:设,于是。
由(Ⅰ)知当时取最小值为
于是对任意,都有,所以在R内单调递增。 ……8分
于是,当时,对任意,都有,而 ………10分
从而对任意,都有。即故12分
考点:函数单调区间极值及利用单调性最值证明不等式
点评:证明不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题
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