题目内容

已知直线,圆O:=36(O为坐标原点),椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等。
(I)求椭圆C的方程;(II)过点(3,0)作直线l,与椭圆C交于A,B两点设(O是坐标原点),是否存在这样的直线l,使四边形为ASB的对角线长相等?若存在 ,求出直线l的方程,若不存在,说明理由。

解:(Ⅰ)∵圆心O到直线的距离为
直线l被圆O截得的弦长2a=,∴a=2,
,解得
∴椭圆C的方程为:;                             ………4分
(Ⅱ)∵,∴四边形OASB是平行四边形.
假设存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线长相等,
则四边形OASB为矩形,因此有,
A(x1y2),B(x2y2),则.                  ………7分
直线l的斜率显然存在,设过点(3,0)的直线l方程为:
,得,     
,即.
………9分

,
得:,满足Δ>0.     ………12分
故存在这样的直线l,其方程为.              ………13分
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