题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
与椭圆相交于
两点.
①若线段
中点的横坐标为
，求
的值；
②在
轴上是否存在点
，使
为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）①
,②
.
【解析】分析：（1）先根据已知得到a,c的两个方程，解方程即得椭圆
的方程.(2) ①,先联立直线与椭圆的方程得到韦达定理
=2×
，即得k的值. ②假设存在定点
使得为定值，设点
,先求
，再分析得到
，即得m的值.
详解：（1）由题意得：
① ，
②，
由①②解得：
，∴
，
∴椭圆的方程为.
（2）由
消去
得
，
，
设
，则
，
①∵线段
的中点的横坐标为，所以
，即
，
所以；
②假设存在定点使得为定值，设点
，
所以
为定值，
即，故
，
解得：
，所以当时
为定值，定值为
.
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，
，
；
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