Question

【题目】已知数列满足，.

（Ⅰ）证明：是等比数列；

（Ⅱ）证明：数列中的任意三项不为等差数列；

（Ⅲ）证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.

(2）证明见解析.

(3) 证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由，得，即，又由，所以是首项为2，公比为的等比数列.

（Ⅱ）由（1）得数列的通项公式为，不妨设数列中存在三项，，为等差数列，化简得，进而得到，由于，所以上式左边是偶数，右边是奇数，得出矛盾.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则，，又由当时，化简得到，即可利用等比数列的求和公式，即可作出证明.

详解：（Ⅰ）由，得，即，

故.

又，所以是首项为2，公比为的等比数列.

（Ⅱ）下面用反证法证明数列中的任意三项不为等差数列，

因为，因此数列的通项公式为.

不妨设数列中存在三项，，为等差数列，

又， ，

故，

所以数列中存在三项为等差数列，只能为成立.

即 ，

化简为，

两边同乘，得.

又由于，所以上式左边是偶数，右边是奇数，故上式不成立，导致矛盾.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知.

，，

因为当时，，所以.

于是

.

所以.