题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求证:函数和
在公共定义域内,
恒成立;
(3)若存在两个不同的实数,
,满足
,求证:
.
【答案】(1)增区间为,减区间为
;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】分析:(1)构造函数,对函数求导,得到得到导函数的正负,进而得到单调区间和极值;(2)构造函数
,对函数
和
求导研究函数的单调性进而得到函数的最值,使得最小值大于2即可;(3)要证原式只需要证
,
故得到即证:
,变量集中设
即可,转化为关于t的不等式.
详解:
(1)函数的定义域为
,
,
故当时,
,当
时,
,
故函数的单调增区间为
,单调减区间为
;
(2)证明:函数和
的公共定义域为
,
,
设,则
在
上单调递增,故
;
设,当
时有极大值点,
;故
;
故函数和
在公共定义域内,
.
(3)证明:不妨设,由题意得,
,
;所以
;
而要证,只需证明
;
即证明;即证明
;
即证明,;令
,则
;
即证明;设
;
则,故函数
在区间
上是增函数,
所以,即
;所以不等式
成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位:件),随机抽取近5年50天的销售量,统计结果如下:
日销售量 | 100 | 150 |
天数 | 30 | 20 |
频率 |
若将上表中频率视为概率,且每天的销售量相互独立.则在这5年中:
(1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示);
(2)已知每件该商品的利润为20元,用X表示该商品某两天销售的利润和(单位: 元),求X的分布列和数学期望.
【题目】共享单车已成为一种时髦的新型环保交通工具,某共享单车公司为了拓展市场,对,
两个品牌的共享单车在编号分别为1,2,3,4,5的五个城市的用户人数(单位:十万)进行统计,得到数据如下:
城市品牌 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 12 | 6 | 8 |
| 4 | 3 | 7 | 9 | 5 |
(Ⅰ)若共享单车用户人数超过50万的城市称为“优城”,否则称为“非优城”,据此判断能否有的把握认为“优城”和共享单车品牌有关?
(Ⅱ)若不考虑其它因素,为了拓展市场,对品牌要从这五个城市选择三个城市进行宣传.
(i)求城市2被选中的概率;
(ii)求在城市2被选中的条件下城市3也被选中的概率.
附:参考公式及数据
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.005 | 0.001 | ||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |