题目内容
9．已知数列{an}是公比为2的等比数列，若a1=2．则$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=（ ）| A． | $\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$） | B． | $\frac{1}{3}$（4n-1） | C． | $\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$） | D． | 1-$\frac{1}{{4}^{n}}$ |
分析 由数列{an}是公比为2的等比数列，得{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，求出{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}的首项后代入等比数列的前n项和得答案．
解答 解：∵数列{an}是公比为2的等比数列，
∴{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
又a1=2，∴$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}=\frac{1}{4}$，
则$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．
故选：C．
点评 本题考查等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是基础题．
练习册系列答案
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4．下列各式中正确的是（ ）
| A． | 当a，b∈R时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=2 | B． | 当a＞1，b＞1时，lga+lgb≥2$\sqrt{lgalgb}$ | ||
| C． | 当a＞4时，a+$\frac{9}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{9}{a}}$=6 | D． | 当ab＜0时，-ab-$\frac{1}{ab}$≤-2 |