题目内容
19.已知函数f(x)=9x-m•3x+1,若存在实数x,使等式f(-x)+f(x)=0成立,则实数m的最小值为$\frac{1}{3}$.分析 由已知推导出3m=${3}^{x}+{3}^{-x}-\frac{2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$,令t=3x+3-x,则t≥2,得到3m=t-$\frac{2}{t}$(t≥2)在[2,+∞)上是单调增函数,由此能求出实数m的最小值.
解答 解:∵函数f(x)=9x-m•3x+1,存在实数x,使等式f(-x)+f(x)=0成立,
∴9-x-m•3-x+1=-9x+m•3x+1,
∴m(3x+1+3-x+1)=9x+9-x,
∴3m=$\frac{{9}^{x}+{9}^{-x}}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$=$\frac{({3}^{x}+{3}^{-x})^{2}-2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$=${3}^{x}+{3}^{-x}-\frac{2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$,
令t=3x+3-x,则t≥2,
∵函数y=t与y=-$\frac{2}{t}$在[2,+∞)上均为单调递增函数,
∴3m=t-$\frac{2}{t}$(t≥2)在[2,+∞)上是单调增函数,
当t=2时,3m=t-$\frac{2}{t}$(t≥2)取得最小值1,即3m≥1,
∴$m≥\frac{1}{3}$.∴实数m的最小值为$\frac{1}{3}$.
故答案为:$\frac{1}{3}$.
点评 本题考查函数中参数的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
练习册系列答案
相关题目
10.在△ABC中,若$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$,则△ABC是( )
A. | 锐角三角形 | B. | 钝角三角形 | C. | 直角三角形 | D. | 等腰三角形 |
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)+3=f(x+1),则f(1)的值为( )
A. | 1 | B. | 0 | C. | 3 | D. | -1 |
9.已知数列{an}是公比为2的等比数列,若a1=2.则$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=( )
A. | $\frac{1}{3}$(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$) | B. | $\frac{1}{3}$(4n-1) | C. | $\frac{1}{3}$(1-$\frac{1}{{4}^{n}}$) | D. | 1-$\frac{1}{{4}^{n}}$ |