Question

18．已知函数f（x）=（ax²+x-b）e^x（a∈R），其中e是自然数对数的底数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=4ex-3e．
（1）求a，b的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并求函数y=f（x）的极大值和极小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的解析式和导数，求得单调区间，即可得到极值．

解答 解：（1）函数f（x）=（ax²+x-b）e^x的导数为
f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1-b]e^x，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=4ex-3e，
可得切线的斜率为k=4e=（3a+2-b）e，
即有3a-b=2，又切点为（1，e），
即（a+1-b）e=e，即有a-b=0，
解得a=b=1；
（2）f（x）=（x²+x-1）e^x的导数为
f′（x）=（x²+3x）e^x，
由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-3；
由f′（x）＜0，可得-3＜x＜0．
则f（x）的增区间为（-∞，-3），（0，+∞）；
减区间为（-3，0）．
即有x=0处取得极小值，且为-1；
x=-3处取得极大值，且为5e^-3．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．