Question

3．在?ABCD中，AB=8，BC=6，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{BF}$+2$\overrightarrow{CF}$=0，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）设$\overrightarrow{DB}$=λ$\overrightarrow{DE}$+μ$\overrightarrow{DF}$，求λ+μ；
（2）设AF与DE交于点G，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AG}$．

Answer 1

分析 （1）先根据$\overrightarrow{BF}+2\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$得到$\overrightarrow{BF}=-2\overrightarrow{CF}$，根据向量加法的几何意义及共线向量基本定理便可用向量$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}$分别表示出$\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，从而带入$\overrightarrow{DB}=λ\overrightarrow{DE}+μ\overrightarrow{DF}$，便可得到$\overrightarrow{DB}=（\frac{λ}{4}+μ）\overrightarrow{AB}-（λ+\frac{μ}{3}）\overrightarrow{AD}$，而又可以用$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}$表示$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，这样根据平面向量基本定理即可建立关于λ，μ的方程组，从而可解出λ，μ，这样便可得出λ+μ；
（2）由A，G，F三点共线可以得到$\overrightarrow{DG}=（1-x）\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DF}$，带入上面的$\overrightarrow{DF}$便可得到$\overrightarrow{DG}=（\frac{2}{3}x-1）\overrightarrow{AD}+x\overrightarrow{AB}$，而根据D，G，E三点共线便可得到$\overrightarrow{DG}=y\overrightarrow{DE}$，带入上面的$\overrightarrow{DE}$，根据平面向量基本定理即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，便可用$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{DG}$，而由$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}$即可表示出$\overrightarrow{AG}$，从而便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AG}$．

解答 解：（1）如图，$\overrightarrow{BF}+2\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{BF}=-2\overrightarrow{CF}$；
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$；
$\overrightarrow{DB}=λ（-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}）+μ（\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}）$=$（\frac{λ}{4}+μ）\overrightarrow{AB}-（λ+\frac{μ}{3}）\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{4}+μ=1}\\{λ+\frac{μ}{3}=1}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{8}{11}}\\{μ=\frac{9}{11}}\end{array}\right.$；
∴$λ+μ=\frac{17}{11}$；
（2）A，G，F三点共线，∴存在x使$\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AF}$；
∴$\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{DA}=x（\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DA}）$；
∴$\overrightarrow{DG}=（1-x）\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DF}$=$（x-1）\overrightarrow{AD}+x\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}x\overrightarrow{AD}$=$（\frac{2}{3}x-1）\overrightarrow{AD}+x\overrightarrow{AB}$；
D，G，E三点共线，∴存在y使，$\overrightarrow{DG}=y\overrightarrow{DE}=y（-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}）$=$-y\overrightarrow{AD}+\frac{y}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴根据平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}x-1=-y}\\{x=\frac{y}{4}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{14}}\\{y=\frac{6}{7}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AD}$$+（-\frac{6}{7}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{14}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{7}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{14}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{7}\overrightarrow{b}+\frac{3}{14}\overrightarrow{a}$；
即$\overrightarrow{AG}=\frac{3}{14}\overrightarrow{a}+\frac{1}{7}\overrightarrow{b}$．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．