题目内容

(本小题满分12分)
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1 D1. 过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G。

(I)           证明:AD∥平面EFGH;
(II)        设AB=2AA1 ="2" a .在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p,当点E,F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时,求p的最小值.
(I)见解析(II)p的最小值等于7/8
本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概念等基础知识,考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分
解法一:
(I)                  证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥A1 D1
又∵EH∥A1 D1,∴AD∥EH.
∵AD¢平面EFGH
EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
(II)               设BC=b,则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b,
几何体EB1F-HC1G的体积V1 =(1/2EB1 ·B1F)·B1C1 =b/2·EB­1 ·B1 F
∵EB12 + B1 F2=a2
∴EB12 + B1 F2≤ (EB12 + B1 F2)/2 = a2 / 2,当且仅当EB­1 =B1 F=  a时等号成立
从而V1 ≤ a2b /4 .
故 p=1-V1/V ≥=
解法二:
(I)                   同解法一
(II)                设BC=b,则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b ,
几何体EB1F-HC1G的体积
V1=(1/2 EB­1 ·B1 F)·B1C1 =b/2 EB­1 ·B1 F
设∠B1EF=θ(0°≤θ≤90°),则EB­1 =" a" cosθ,B1 F ="a" sinθ
故EB­1 ·B1 F = a2 sinθcosθ=,当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
从而
∴p=1- V1/V≥=,当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
所以,p的最小值等于7/8
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