题目内容
【题目】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=2C.
(1)若△ABC为锐角三角形,求 的取值范围;
(2)若b=1,c=3,求△ABC的面积.
【答案】
(1)解:由题意:A=2C.
由正弦定理可得, ,
∵△ABC为锐角三角形,
∴ ,
进而可知, ,
即 的取值范围是 ;
(2)解:由(1)可知, ,
∴a=2ccosC=6cosC,
由余弦定理可知,c2=a2+b2﹣2abcosC,即9=36cos2C+1﹣12cos2C,
∵A=2C,
∴C为锐角,
解得 ,
∴ ,
从而△ABC的面积为 .
(由sinB=sin3C=3sinC﹣4sin3C结合正弦定理求得 亦可)
【解析】(1)根据A=2C,由正弦定理化简,将 的比值转化为三角函数问题,利用三角函数的有界限可得取值范围.(2)根据b=1,c=3,A=2C.建立方程求出a和sinC,可得△ABC的面积.
【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识,掌握余弦定理:;;.
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