题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=1处取极小值,x=3处取极大值,且函数图象在(2,f(2))处的切线与直线x-5y=0平行.
(1)求实数abc的值;
(2)设函数f(x)=0有三个不相等的实数根,求d的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)对函数求导可得,,由题意可得
,所以
,
.联立可求
,
,
(2)由(1)可得,由
和
分别是函数
的极小值点和极大值点,判断可得方程
有三个不相等的实数根的充要条件为
,代入可求.
(1),函数图象在
的切线与直线x-5y=0平行,
①
由题意可知,1和3为方程的两根,所以:
②
③
由①②③解得.
(2)由(1)得,
x=1和x=3分别是函数f(x)的极小值点和极大值点,
当时,
;当
时,
所以方程f(x)=0有三个不相等的实数根的充要条件为:,
即,解得
所以d的取值范围为.
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