Question

【题目】如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中， E、F分别为PD、AB的中点，△PAB为等腰直角三角形，PA⊥平面ABCD，PA=1．

（1）求证：直线AE∥平面PFC；

（2）求证：PB⊥FC．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）取PC的中点M，连接EM，FM．利用三角形中位线定理可得ME平行且等于CD，又AF平行且等于CD，可得AF平行且等于EM，再利用平行四边形的判定与性质定理可得AE∥FM，利用线面平行的判定定理即可证明AE∥平面PFC．（2）由已知利用线面垂直的性质可证PA⊥FC，利用菱形的性质，余弦定理，勾股定理可证CF⊥BF，进而可证CF⊥平面PAB，利用线面垂直的性质可证PB⊥FC．

试题解析：

（1）取PC的中点M，连接EM，FM．

又E点为PD的中点，∴MECD，

又AFCD，∴AFEM，

∴四边形AFME是平行四边形，

∴AE∥FM，又AE平面PFC，FM平面PFC，

∴直线AE∥平面PFC．

（2）∵△PAB为等腰直角三角形，PA⊥平面ABCD，PA=1．

∴PA⊥FC，PA⊥AB，PA=AB=1，

∵F为AB的中点，BF=，

∴在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，，可得：BC=1，CF=，

∴△BFC中，CF2+BF2=BC2，可得：CF⊥BF，

又∵PA∩BA=A，

∴CF⊥平面PAB，

∵PB平面PAB，

∴PB⊥FC．