题目内容

【题目】如图，正四面体A﹣BCD的棱长为a，点E、F分别是棱BD、BC的中点，则平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为_____.

【答案】

【解析】

设圆心为P，内切球的球心为O,内切球的半径为r，作平面,则为底面三角形的中心,由OP⊥AM，可得,,利用相似比求出,利用四面体中的几何关系求出r，再由截面圆的性质可知,所求截面圆的半径求解即可.

作图如下:

根据题意知,平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆，

设圆心为P，内切球的球心为O，

作平面,则为底面三角形的中心,

在等边三角形中,,

在中,由勾股定理知,

,

由图可知,为四面体外接球的半径,设,

在中,由勾股定理可得,

,解得，

所以正四面体A﹣BCD的内切球半径为

,

因为OP⊥AM，,所以，

又因为，

由AM2＝NM2+AN2可得AM，

所以，即,解得OP，

∴平面AEF截该正四面体的内切球所得截面圆半径r1，

平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为，

故答案为:

练习册系列答案
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