题目内容
【题目】已知函数(
)的图象在
处的切线为
(
为自然对数的底数)
(1)求的值;
(2)若,且
对任意
恒成立,求
的最大值.
【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.
【解析】(1)对求导得
,根据函数
的图象在
处的切线为
,列出方程组,即可求出
的值;(2)由(1)可得
,根据
对任意
恒成立,等价于
对任意
恒成立,构造
,求出
的单调性,由
,
,
,
,可得存在唯一的零点
,使得
,利用单调性可求出
,即可求出
的最大值.
(1),
.
由题意知.
(2)由(1)知: ,
∴对任意
恒成立
对任意
恒成立
对任意
恒成立.
令,则
.
由于,所以
在
上单调递增.
又,
,
,
,
所以存在唯一的,使得
,且当
时,
,
时,
. 即
在
单调递减,在
上单调递增.
所以.
又,即
,∴
.
∴.
∵,∴
.
又因为对任意
恒成立
,
又,∴
.
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