题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆
的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且点F满足
，由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为
．过点
的直线TA，TB与此椭圆分别交于点
，
，其中
，
，
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当T在直线
时，直线MN是否过x轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）直线MN必过x轴上一定点
．
【解析】
（1）根据题意求出
的值，得到椭圆方程.
（2）计算
和
的直线方程，联立方程计算
坐标，讨论
和
两种情况，计算得到答案.
（1）由
知
，
，
由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为
，
又有
，解得
，
，所以椭圆C的标准方程为．
（2）可知
，直线AT的方程为
，直线BT的方程为
．
点
满足
，故
，
．
点
满足
，故
，
．
若，则
且
，得
，
此时直线MN的方程为
，过点；
若，则
，
直线MD的斜率
，
直线MD的斜率为
，
所在
，所以直线MN过点，
因此直线MN必过x轴上一定点．
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