Question

7．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\overrightarrow{m}$=（b+a，-c），$\overrightarrow{n}$=（b-a，a+c），且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$；
（1）求角B的值；
（2）若a=6，b=6$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\overrightarrow m•\overrightarrow n=（b+a）（b-a）-c（a+c）=0$，由余弦定理可得cosB，结合B的范围即可得解．
（2）由正弦定理可求sinA，结合A的范围可求A，C，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
所以$\overrightarrow m•\overrightarrow n=（b+a）（b-a）-c（a+c）=0$，
即：a²+c²-b²=-ac，
所以$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{-ac}{2ac}=-\frac{1}{2}$，
因为0＜B＜π，
所以$B=\frac{2π}{3}$．…（4分）
（2）因为$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
所以$sinA=\frac{asinB}{b}=\frac{{6•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{6\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}$，
因为0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{6}$，$C=π-\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}×\frac{1}{2}=9\sqrt{3}$．…（8分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量及应用，解题时要注意分析角的范围，属于中档题．