题目内容
如图，直棱柱ABC-
中，D，E分别是AB，BB1的中点，
=AC=CB=
AB.
（Ⅰ）证明：
//平面
；
（Ⅱ）求二面角D-
-E的正弦值.
中，D，E分别是AB，BB1的中点，=AC=CB=AB.（Ⅰ）证明：
//平面；（Ⅱ）求二面角D-
-E的正弦值.（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
（Ⅰ）连结
，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以
OD∥，又因为OD
平面，
平面，所以 //平面；
（Ⅱ）由=AC=CB=AB可设：AB=
，则=AC=CB=
，所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、
为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则
、
、
、
，
，
，
，
，设平面的法向量为
，则
且
，可解得
，令
，得平面的一个法向量为
，同理可得平面
的一个法向量为
，则
，所以
，所以二面角D--E的正弦值为.
本题第（Ⅰ）问，证明直线与平面平行,主要应用线面平行的判定定理，一般情况下，遇到中点想中位线的思想要用上，同时用上侧面为平行四边形的条件；第（Ⅱ）问，求二面角的大小，若图形中容易建立空间直角坐标系，则就求两个半平面的法向量，从需得出结果.对第（Ⅰ）问，证明线面平行时,容易漏掉条件；对第（Ⅱ）问，二面角的大小与两个法向量夹角相等或互补的关系，一部分同学容易得出它们相等.
【考点定位】本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解，考查同学们的逻辑推理能力、空间想象能力，考查分析问题以及解决问题的能力.
，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥
，又因为OD平面，平面，所以 //平面；（Ⅱ）由
=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则
、、、，，，，，设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则，所以，所以二面角D--E的正弦值为.本题第（Ⅰ）问，证明直线与平面平行,主要应用线面平行的判定定理，一般情况下，遇到中点想中位线的思想要用上，同时用上侧面为平行四边形的条件；第（Ⅱ）问，求二面角的大小，若图形中容易建立空间直角坐标系，则就求两个半平面的法向量，从需得出结果.对第（Ⅰ）问，证明线面平行时,容易漏掉条件；对第（Ⅱ）问，二面角的大小与两个法向量夹角相等或互补的关系，一部分同学容易得出它们相等.
【考点定位】本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解，考查同学们的逻辑推理能力、空间想象能力，考查分析问题以及解决问题的能力.
练习册系列答案
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中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱
，
为
中点，
为
中点，
为
上一个动点.
；
的平面角余弦值.
的棱长均相等，则
与侧面
所成角的正切值为___.
的边长为2，将它沿高
翻折，使点
与点
间的距离为1，此时二面角
大小为 .
中，
，过
、
、
三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体
，且这个几何体的体积为
．
的长；
的中点为
，求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
的正方体
中，
分别是
的中点，则异面直线
与
所成角等于 
、
是直线，
、
是平面，
，向量
在
在
，
，则
，则
与
所成角为( )
