Question

11．若关于x的方程x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）有两个相等的实数根．
（1）求实数a的取值范围．
（2）当a=$\frac{6}{5}$时，求cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到根的判别式△=0，结合θ的取值范围得到a=$\frac{{4{{sin}^2}θ}}{tanθ}=4sinθcosθ=2sin2θ$，所以由正弦函数的取值范围来求a的取值范围；
（2）把a的值代入（1）中的等式得到：$2sin2θ=\frac{6}{5}，sin2θ=\frac{3}{5}$；将所求的代数式利用倍角公式、两角和与差的余弦函数转化为含有sin2θ的代数式$cos（θ+\frac{π}{4}）=-\sqrt{\frac{1-sin2θ}{2}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，并代入求值即可．

解答 解：（1）依题意得△=16sin²θ-4atanθ=0，4sin²θ-atanθ=0，
∵$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，
∴tanθ≠0，
则a=$\frac{{4{{sin}^2}θ}}{tanθ}=4sinθcosθ=2sin2θ$，
∵$\frac{π}{2}＜2θ＜π$，
∴0＜sin2θ＜1，
∴0＜a＜2．
（2）a=$\frac{6}{5}$时，$2sin2θ=\frac{6}{5}，sin2θ=\frac{3}{5}$，
又$\frac{π}{2}＜θ+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，
∴$cos（θ+\frac{π}{4}）=-\sqrt{\frac{{1+cos[2（θ+\frac{π}{4}）]}}{2}}=-\sqrt{\frac{1-sin2θ}{2}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了两角和与差的余弦函数．熟记公式是解题的关键．解题过程中，要注意已知角的取值范围．